微分方程式 解軌道の描画 3D   簡易解説

このツールは3次元の微分方程式の解軌道を描画します。 2次元でも不思議な軌道を描く方程式がありますが、 3次元になると、一見簡単そうな方程式でも 特定のパラメータと初期値によってカオス的な解軌道を描くものがあります。 解は有界であるのに何とも気まぐれな軌道を持つ方程式です。 ネットで調べて、不思議な性質を持つ方程式を集めてみました。 解軌道の描画は、4次のrunge-kutta法で近似を行っています。 初期値として2点を指定し、時間経過に伴う軌道を動的に描画していきます。

描画が終了すると、アングルと垂直軸を変更することで、様々な角度から解軌道を観察することができます。

それでは、セレクトボックスに表示されるタイトルに従って、ざっくりと説明します。 と、言いたいところですが、私にはとてもそのような知識はないので、本当に簡単なコメントと、 方程式が紹介されているサイトのurlを記すことにします。

[01] Lorenz system

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\[ \dot{x} = ay - ax \] \[ \dot{y} = bx - xz - y \] \[ \dot{z} = xy - cz \]

私がLorenz systemを初めて知ったのは、1980年代の後半です。 カオスとかフラクタルがはやった頃です。 ブルーバックスでこの方程式についてのかなり詳しい説明を読んだことがあり、 森本光生氏の「パソコンによる微分方程式」に載っていた描画プログラムを 3次元版に拡張して描画させた記憶があります。N88-BASICってご存じですか(^^;。

Lorenz systemが有名になったのは、解を得るための初期値がほんの少し違っただけで、 有界であるにも関わらず、全く思いにもよらない軌道を描くことの初期値鋭敏性について、バタフライエフェクトとして知られるようになったことだと思います。 最近では、NHKがやたらにバラフライエフェクトを連発していますが...

Lorenz systemについては、検索すればいくらでもヒットします。一応、下記のサイトを挙げておきます。

1. ローレンツ方程式

2. バタフライ効果

パラメーターは$a = 10.0, b = 28.0, c = 8.0 / 3.0$ のパターンがよく知られています。 シミュレーションツールでも、デフォルトでこの値を使用しています。
初期値は(0, 1, 2)、(0, 1, 2.01)としています。

[02] Thomas system

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\[ \dot{x} = \sin y - ax \] \[ \dot{y} = \sin z - ay \] \[ \dot{z} = \sin x - az \]

この式がカオスになるとはにわかには信じられませんが、カオスになってしまいます。

Thomas systemについては、下記のサイトを参照してください。

1. Thomas' cyclically symmetric attractor

シミュレーションツールでは、パラメーターは$a = 0.208186$ 、初期値は $(x, y, z) = (0, 1, 2)、(0, 1, 2.01)$ としています。

[03] Four-Wing system

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\[ \dot{x} = ax + yz \] \[ \dot{y} = bx + cy - xz \] \[ \dot{z} = -z -xy \]

Lorenz systemが2つ合体したような軌道が描かれます。 この方程式が紹介されている最初に見つけたサイトを参考にしたのですが、 他のサイトで紹介されているFour-Wingの式とは若干異なります。 しかし、実際に描画すれば、まさにFour-Wingです。

Four-Wingについては、下記のサイトが最初に見つけたページです。

1. STRANGE ATTRACTORS

シミュレーションツールでは、パラメーターは$a = 0.2, b = 0.01, c= -0.4$ 、初期値は $(x, y, z) = (0, 1, 2)、(0, 1, 2.01)$ としています。

[04] Halvorsen system

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\[ \dot{x} = -ax -4y -4z + y^2 \] \[ \dot{y} = -ay -4z -4x + z^2 \] \[ \dot{z} = -az -4x -4y + x^2 \]

この式もThomasモデルと似た感じで、かなり規則的な変化をしていますが、カオスになります。

Halvorsen systemについては、下記のサイトを参照してください。

1. STRANGE ATTRACTORS

シミュレーションツールでは、パラメーターは$a = 1.499$ 、初期値は $(x, y, z) = (0, 1, 2)、(0, 1, 2.01)$ としています。

[05] Rössler system

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\[ \dot{x} = -(y + z) \] \[ \dot{y} = x + ay \] \[ \dot{z} = b + z(x - c) \]

この式もThomasモデルと似た感じで、かなり規則的な変化をしています。やはりカオスになります。

Rössler systemについては、下記のサイトを参照してください。

1. レスラー方程式

シミュレーションツールでは、パラメーターは$a = 0.2, b = 0.2, c = 5.7$ 、初期値は $(x, y, z) = (0, 1, 2)、(0, 1, 2.01)$ としています。

[06] Sprott system

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\[ \dot{x} = y + axy + xz \] \[ \dot{y} = 1 - bx^2 + yz \] \[ \dot{z} = x - x^2 - y^2 \]

カオス解になるようですが、初期値による鋭敏性は見られないと思います。

Sprott systemについては、下記のサイトを参照してください。

1. STRANGE ATTRACTORS

シミュレーションツールでは、パラメーターは$a = 2.07, b = 1.79$ 、初期値は $(x, y, z) = (0.63, 0.47, -0.54)、(0.63, 0.47, -0.55)$ としています。

[07] Rabinovich-Fabrikant system

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\[ \dot{x} = y(z - 1 + x^2) + bx \] \[ \dot{y} = x(3z + 1 - x^2) + by \] \[ \dot{z} = -2z(a + xy) \]

解軌道は3つのアトラクターを複雑に動きます。Lorenz system同様に、初期値鋭敏性が見られます。

Rabinovich-Fabrikant systemについては、下記のサイトを参照してください。

1. Rabinovich–Fabrikant equations

シミュレーションツールでは、パラメーターは$a = 0.14, b = 0.1$ 、初期値は $(x, y, z) = (-1, 0.9, 0.6)、(-1, 0.9, 0.60001)$ としています。